Контейнер мозгоотходов Грихана

Думаю о том, как знакомить школьников с понятием доказательства в математике, и как расширять это знакомство. Несколько разрозненных мыслей (вполне могу быть неправ по фактам, поправляйте, если так).

В школьной программе математики большинство материала никак не касается доказательств. Школьники, например:
- решают уравнения и неравенства
- решают текстовые задачи, превращая условие в уравнение
- рисуют графики функций, берут производные, находят критические точки
итд. итп.

При этом они пользуются методами, формулами, законами итд., которые принимают на веру. Формула корней квадратного уравнения, тригонометрические тождества, правила работы с дробями, правила взятия производной... В зависимости от страны, школы, программы некоторые из этих вещей выводятся и "доказываются" учителем на доске, но редко и в любом случае это потом не повторяется и не ощущается учениками как важная часть занятий математикой.

Есть только два исключения, из того, что я помню как ученик и видел как родитель. Значительная часть геометрии (большое исключение) и принцип индукции и задачи на него (маленькое). Но индукция воспринимается как "странный трюк", к которому надо привыкнуть и вставлять в него нужные условия. А геометрические задачи, во-первых, часто маскируют доказательную часть под налетом "решательной" (найдите, чему равен этот угол, найдите площадь четырехугольника, если известно...), и во-вторых, даже задачи на доказательство сводятся чаще всего к поиску того, какие заученные правила надо использовать (этот треугольник равнобедренный; какой треугольник подобен какому? четырехугольник вписан в окружность, значит что?).

Я пытаюсь подобраться тут к ощущению процесса доказательства, знакомому любому студенту, изучавшему высшую математику на серьезном уровне. У нас есть некое утверждение: из A следует B. Мы внимательно фиксируем в уме и продумываем, что нам известно (А и что следует из А), и постепенно движемся от этого к B, все время держа в уме, что мы уже знаем, что еще нет. Это движение необязательно линейное от начала к концу, часто оно разветвляется (рассмотрим отдельно эти две возможности...) или переворачивается от конца к началу (предположим, что B неверно, тогда...). Иногда мы заостряем внимание на части работы, и доказываем это отдельно (тоже, возможно, с переворотами или разделениями на разные пути). Ученик для начала читает такое доказательство, и в идеале внимательно прослеживает весь поток мысли, проверяя, что понимает каждый шаг. Затем, постепенно, начиная с очень простых упражнений, учится формулировать такие доказательства сам. Как и с любым сложным умением, физическим или ментальным, это усваивается и улучшается постепенно, от простого к сложному, от краткого к длинному, от прямолинейного к гибкому. Но всю школьную математику можно пройти и сдать, вообще не освоив это умение ни в каком виде, как мне кажется.

Именно усвоение этого умения оказывается часто тем, что останавливает студентов в изучении математики. Скажем, в американских колледжах, как я понимаю, часто преподают матанализ в два подхода: курс Calculus практически без доказательств, а потом курс Real Analysis с доказательствами эпсилон-дельта, где все строго. И это очень часто случается, что студент прекрасно справляется с Calculus, а на доказательствах мозги заворачиваются и он ощущает (справедливо или нет, отдельный вопрос), что вот тут его потолок. Мне попадалось несчетное число воспоминаний именно такого типа.

Как помочь школьникам, не выходя за рамки школьной программы - или выходя, но не значительно - освоить понятие доказательства и привыкнуть к нему? Геометрические задачи - самое близкое, что есть, но из-за того, что они подогнаны под усвоенные "факты", которые надо использовать, недостаточно - мне кажется - присутствует вот это ощущение мысли, ползущей по маршруту - который кто-то проложил или ты сам открываешь - и следящей все время за тем, что известно, что нужно, каков общий план. Кроме того, в геометрических задачах почти не бывает доказательства от противного и редко - разбор разных случаев, так это эта ментальная гибкость "переворота" и "разветвления" тоже не тренируется.

Нужен, мне кажется, тип заданий, сознательно формирующий и тренирующий эту гибкость. Недостаточно (по личному опыту), скажем, показать пару красивых примеров, типа доказательства, что квадратный корень из двух не рационален. Даже когда ученик это хорошо понимает, это отдельный красивый трюк, а не метод. Нужно именно много разных примеров, с упражнениями, начиная с очень простых. Неважно на данный момент, речь идет о собственно программе или дополнительной работе ученика, пока меня интересует, как вообще этого добиться, не в рамках олимпиадного кружка для того мизерного процента, которые на лету все схватывают, а с более широким охватом. Пока приходят на ум такие варианты, но буду рад услышать еще или о вашем опыте с этими:

- собственно геометрия, но с упором на аксиоматику. Исторически это было собственно чтение и прорабатывание "Начал" Эвклида. У этого есть свои недостатки (аксиомы Эвклида неполны, понять, зачем доказывать очевидное, не всегда легко), но и несомненные достоинства (связь с историей, большое количество аккуратно прочерченных мыслительных маршрутов, по которым надо пройти)

- логические задачи. Начиная с простых силлогизмов, затем усложняя, тренируя все время именно прохождение - или прокладывание - маршрута, с вниманием к переворотам и разветвлениям. Книги Смаллиана итп. Недостаток тут (и одновременно достоинство) в упоре на логику, мало собственно математики.

(P.S. Есть много разных книг вида "Введения в доказательства" или "Как устроены доказательства", которые мне обычно кажутся неподходящими для заданной в своем же названии темы. Даже в качестве пособий для студентов, уже изучающих высшую математику. А книги, подобные "Как решать задачу" и другим книгам Пойа, наоборот, уже для тех, кто все эти основы хорошо понял.)